Cálculos de probabilidad y el método Martingala

Estoy seguro que a muchos de vosotros os han enviado infinidad de veces correos electrónicos considerados spam, en los cuales unos supuestos estudiantes de Matemáticas o de Ingeniería tenían un método realmente novedoso e ingenioso para jugar a la ruleta y ganar.

Como persona curiosa que soy pero por supuesto bastante exceptica en cuanto a estos novedosos métodos, me propuse a abrir uno de estos correos para ver de que se trataba.

Al abrirlo, pude comprobar que se trataba ni mas ni menos que el famoso proceso estocástico llamado Martingala.

La Martingala no es un método nuevo. Ya en el siglo XVIII se convirtió en Francia en un método de apuesta muy popular, pero ¿es efectiva realmente la Martingala tal y como aseguran los supuestos matemáticos e ingenieros que nos han enviado el correo electronico? Veamos que es lo que nos proponen:

«En la ruleta, por ejemplo, la martingala consistiría en comenzar apostando una determinada cantidad, por ejemplo 1 euro, al rojo. En caso de pérdida, se apostaría de nuevo al rojo, pero esta vez, duplicando la cantidad y así, sucesivamente, hasta ganar la apuesta. Llegado ese momento se compensarían las pérdidas y obtendríamos como beneficio la primera cantidad apostada.»

Es decir, vamos a una ruleta y apostamos por ejemplo 1 euro al rojo. Si sale rojo, nos devuelven 2 con lo cual ganamos y si sale negro perdemos el euro apostado. En este caso, deberíamos apostar de nuevo por el rojo, pero esta vez el doble de la cantidad que hemos apostado inicialmente, es decir, 2 euros. Si ganamos, nos devuelven 4 euros, con lo cual:

4>2+1

Por lo tanto habriamos ganado un euro, pero si perdemos, deberíamos apostar nuevamente el doble de la cantidad apostada en la apuesta anterior, en este caso 4 euros. Si ganamos nos devolverían 8 euros por lo tanto:

8>4+2+1

Por lo que ganaríamos un euro… pero si perdemos deberiamos hacer nuevamente lo mismo…. Esto me recordaba  a una antigua leyenda sobre el origen del ajedrez en la cual, un rey, al quedar tan fascinado por el invento del juego del ajedrez, le dijo al joven inventor del juego que le daría la recompensa que el pidiese, el joven le pidió lo siguiente: «Yo solo quiero un grano de trigo por la primera casilla del tablero, por la segunda casilla quiero 2 granos de trigo, por la tercera casilla quiero 4 granos de trigo, por la cuarta casilla quiero 8 granos de trigos y así sucesivamente por las demás casillas», el rey ordeno que entregaran la recompensa inmediatamente y agrego que era un pedido muy poco digno de su generosidad…

Haciendo unos pocos calculos sabemos que la cantidad asciende a mas de 18 trillones de granos de trigo, es decir, toda la cosecha mundial de trigo de toda la superficie de la tierra conocida hoy en dia durante 10 años…

Si extrapolamos la leyenda del trigo antes comentada, a la ruleta y además le añadimos los ingredientes típicos de un casino: apuesta minima, apuesta máxima y si es por internet y le añadimos la pseudoaleatoriedad que nos proporciona el servidor de números aleatorios del casino tendremos asegurado el fracaso.

Ahora, unos cuantos razonamientos:

Vamos a considerar una ronda como el numero total de apuestas que realiza un usuario hasta que gana o por desgracia no tiene el suficiente dinero como para continuar la siguiente apuesta. Por lo tanto, el valor total del dinero perdido vendrá definido por la siguiente fórmula:

d(2ⁿ – 1)  donde d es la cantidad inicial apostada y n es el número de apuestas.

si llamamos p a la probabilidad de que salga nuestro número apostado, entonces pⁿ sera la probabilidad de que perdamos la ronda. Entonces 1-pⁿ será la probabilidad de ganar la ronda, momento en el cual, el incauto jugador ganará la cantidad apostada en d.

¿Por qué hay gente que sigue jugango? Porque esos supuestos matemáticos siempre nos enseñan la parte buena de la fórmula, es decir la probabilidad de ganar una ronda que es 1-pⁿ
y haciendo el limite de la funcion cuando n tiende a infinito podemos observar como la probabilidad de ganar tiende a 1, es decir, probabilidad absoluta de ganar y eso es lo único que puede ver nuestra cabeza dominada por la avaricia. Sin embargo, en la vida real, nunca vamos a hacer n apuestas, que van a venir determinadas por nuestro bolsillo, por lo tanto, la tendencia en este juego es perder.