Resolución aproximada de ecuaciones por el método de Newton

¿Os habéis preguntado como calculan o computan ciertas operaciones los ordenadores o calculadoras que utilizamos a menudo?

Cuando estamos en el colegio, nos enseñan algoritmos para hacer determinadas operaciones como sumas, multiplicaciones o incluso raices por medio de una serie de operaciones mas o menos engorrosas, pero en un ordenador es distinto.

Nuestras máquinas aprovechan la rápidez con la que efectuan los cálculos para convertir algo «tan complicado como la raiz n de cierto numero» en decenas o miles de operaciones sencillas como sumas y multipicaciones.

Veamos un ejemplo muy sencillo utilizando el método de Newton con el que tan solo 3 iteraciones vamos a obtener una precision de 7 digitos decimales en la raiz cuadrada de 2.

En primer lugar, tenemos que convertir √2 en un polinomio:

x² – 2 = 0

Vamos a necesitar también utilizar la derivada del polinomio, como sabéis

f ‘ (x) = 2x

Ahora vamos con la formula a utilizar:

x_n+1 = x_n – f(x_n) / f'(x_n)

Y solo nos queda empezar a calcular. Vamos a partir de un punto X₀ = 1,5 (aunque podríamos haber dado otro) y sustituimos en la fórmula de arriba.

x₁ = 1,5 – f(1,5) / f'(1,5) = 1,5 – (1,5² – 2) / 1,5 . 2 = 1,4166666

Esta es nuestra primera iteración, ahora utilizamos x₁ en nuestra fórmula

x₂ = 1,4166666 – (1,4166666² – 2) / 1,4166666 . 2 = 1,4142156

Una vez más, utilizamos la formula con el resultado anterior

x₃ = 1,4142156 – (1,4142156² – 2) / 1,4142156 . 2 = 1,4142135

Y con estas 3 iteraciones, hemos conseguido una precisión bastante buena, pero os imaginais si hubiéramos hecho 1000 iteraciones cuanta precisión hubiéramos conseguido?

¿Alguien se atreve a publicar como se haría el resultado de la raiz cúbica de 5 por ejemplo?